Đề kiểm tra cuối kì 1 Toán lớp 12: Khảo sát hàm số qua bảng biến thiên, đồ thị và tiệm cận (có lời giải)

Đáp án: C. (3; +∞)

Lời giải: Hàm số đồng biến ở nơi f'(x) > 0, tức trên (−∞; −1) và (3; +∞). Chỉ (3; +∞) có trong các phương án.

Đáp án: C. x = 2

Lời giải: Điểm cực tiểu của đồ thị là (2; −1) nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 (giá trị cực tiểu bằng −1).

Đáp án: B. 4

Lời giải: Bề lõm hướng xuống nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại hai điểm cực đại, bằng 4.

Đáp án: C. 2

Lời giải: Mẫu x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0 khi x = 2 hoặc x = 3. Tại hai giá trị này tử số bằng 3 và 4, khác 0. Vậy có 2 tiệm cận đứng.

Đáp án: B. y = 2x + 1

Lời giải: Chia đa thức: 2x² − 3x + 1 = (x − 2)(2x + 1) + 3, nên y = 2x + 1 + 3/(x − 2). Khi x → ±∞ thì 3/(x − 2) → 0. Tiệm cận xiên là y = 2x + 1.

Đáp án: B. 3

Lời giải: f'(x) = 0 có ba nghiệm đơn x = −2, 0, 1. Qua mỗi nghiệm f'(x) đổi dấu nên hàm số có 3 điểm cực trị.

Đáp án: A. (2; +∞)

Lời giải: Hàm số nghịch biến ở nơi f'(x) < 0, tức trên (−∞; 0) và (2; +∞). Chỉ (2; +∞) có trong các phương án; (−∞; 2) chứa khoảng (0; 2) là nơi hàm số đồng biến.

Đáp án: B. 5

Lời giải: Hàm số đạt cực đại tại x = −2 và giá trị cực đại là f(−2) = 5.

Đáp án: A. 1

Lời giải: Tử số x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2), mẫu số x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Rút gọn được y = (x − 2)/(x + 1) với x ≠ 1. Chỉ x = −1 làm mẫu bằng 0 mà tử số khác 0 (tử số bằng 6 tại x = −1), còn x = 1 là điểm khử được. Vậy có 1 tiệm cận đứng.

Đáp án: D. y = x/2 − 1

Lời giải: x² − 3x + 4 = (x − 1)(x − 2) + 2 nên y = (x − 2)/2 + 1/(x − 1) = x/2 − 1 + 1/(x − 1). Khi x → ±∞ thì 1/(x − 1) → 0. Tiệm cận xiên là y = x/2 − 1.

Đáp án: C. 2

Lời giải: f'(x) = 0 tại x = −2 (nghiệm đơn), x = 0 (nghiệm bội 2), x = 1 (nghiệm bội 3). Qua nghiệm bội chẵn x = 0, f'(x) không đổi dấu nên không là cực trị; qua x = −2 và x = 1 thì f'(x) đổi dấu. Vậy có 2 điểm cực trị.

Đáp án: C. (1; +∞)

Lời giải: Vì (x + 2)² ≥ 0 nên dấu của f'(x) là dấu của (x − 1) (trừ tại x = −2). Với x > 1 thì f'(x) > 0, hàm số đồng biến trên (1; +∞). Với x < 1 thì f'(x) ≤ 0 nên hàm số nghịch biến trên (−∞; 1); do đó (−2; +∞) và (−2; 1) không đúng.